Содержание
- 1. Дана арифметическая прогрессия {an}, такая, что a1+a2=11, a1+a2+a3+…+a8=164.
- 2. У Вити есть четыре карточки, на которых написаны числа 1, 2, 4, 7. Он случайным образом составляет из них число вида ab cd¯. С какой вероятностью это число делится на 3? Выражение ab обозначает двухзначное число, состоящее из цифр a и b.
- 3. Во вписанном четырёхугольнике ABCD отметили точку E пересечение лучей AD и BC и точку F пересечение лучей AB и DC. Оказалось, что CD=DE, ∠AEB=51∘ и угловые меры дуг BC и AD находятся в соотношении 2:5
- 4. Найдите количество пар различных натуральных чисел a, b, таких, что 1⩽a<b⩽100 и ⌊a√⌋+⌈b√⌉=⌈a√ ⌉+⌊b√⌋. Напомним, что ⌊x⌋обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное x𝑥, а ⌈x⌉ наименьшее целое число, большее или равное x.
- 5. Дана колода из 300 карт, на каждой из которых записано натуральное число от 1 до 300(каждое число встречается по одному разу). Петя раскладывает пасьянс. Для этого Петя выкладывает карты в прямоугольник 3×100 (3 строки, 100 столбцов) так, что числа на картах в каждом столбце возрастают сверху вниз, а также любое число в нижней строке больше любого числа в верхней строке. Удачностью пасьянса называется сумма всех чисел на карточках в верхней и нижней строках.
- 6. Толя задумал два квадратных трёхчлена. Корни первого трёхчлена равны 1 и 2, а один из двух корней второго трёхчлена равен -5. Также известно, что графики трёхчленов пересекаются в двух точках: одна из них имеет координаты (3, 4), а вторая лежит на оси ординат. Найдите ординату второй точки пересечения графиков. Найдите произведение корней второго трёхчлена.
- 7. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA, BCD, площадь треугольника ВСС равна 12, треугольника АСС, — 24. Пусть s — площадь треугольника CDC1. Найдите 52. Оказалось, что площадь треугольника АВС равна 31. Чему равна площадь треугольника АВС?
- 8. Каждый день в 8:00 Петя выписывает на доску букву а, b или с. Затем каждую минуту он делает одно из следующих действий: приписывает сразу после буквы а букву с приписывает сразу перед буквой в букву с приписывает сразу после буквы с ещё одну букву с; стирает букву с и вписывает на том же месте комбинацию ba. Через 9 минут, получив последовательность из 10 букв, Петя останавливается. Сколько различных последовательностей из 10 букв, в которых ровно 2 буквы с, может получить Петя?
1. Дана арифметическая прогрессия {an}, такая, что a1+a2=11, a1+a2+a3+…+a8=164.
Найдите а1.
Ответ: 3
Найдите разность этой арифметической прогрессии
Ответ 5
2. У Вити есть четыре карточки, на которых написаны числа 1, 2, 4, 7. Он случайным образом составляет из них число вида ab cd¯. С какой вероятностью это число делится на 3?
Выражение ab обозначает двухзначное число, состоящее из цифр a и b.
Ответ: 0
3. Во вписанном четырёхугольнике ABCD отметили точку E пересечение лучей AD и BC и точку F пересечение лучей AB и DC. Оказалось, что CD=DE, ∠AEB=51∘ и угловые меры дуг BC и AD находятся в соотношении 2:5
Найдите угол AFD. Ответ выразите в градусах.
Ответ: AFD=78, BC=26.
Найдите величину дуги BC. Ответ выразите в градусах.
Ответ: 1568
4. Найдите количество пар различных натуральных чисел a, b, таких, что 1⩽a<b⩽100 и ⌊a√⌋+⌈b√⌉=⌈a√ ⌉+⌊b√⌋. Напомним, что ⌊x⌋обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное x𝑥, а ⌈x⌉ наименьшее целое число, большее или равное x.
Ответ: 4050 пар
5. Дана колода из 300 карт, на каждой из которых записано натуральное число от 1 до 300 (каждое число встречается по одному разу). Петя раскладывает пасьянс. Для этого Петя выкладывает карты в прямоугольник 3×100 (3 строки, 100 столбцов) так, что числа на картах в каждом столбце возрастают сверху вниз, а также любое число в нижней строке больше любого числа в верхней строке. Удачностью пасьянса называется сумма всех чисел на карточках в верхней и нижней строках.
Какой максимальной удачности пасьянс может выложить Петя?
Ответ: Максимальная удачность пасьянса равна 30100.
6. Толя задумал два квадратных трёхчлена. Корни первого трёхчлена равны 1 и 2, а один из двух корней второго трёхчлена равен -5. Также известно, что графики трёхчленов пересекаются в двух точках: одна из них имеет координаты (3, 4), а вторая лежит на оси ординат. Найдите ординату второй точки пересечения графиков. Найдите произведение корней второго трёхчлена.
Ответ:
Ордината второй точки пересечения графиков: 4.
Произведение корней второго трёхчлена: -40.
7. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA, BCD, площадь треугольника ВСС равна 12, треугольника АСС, — 24. Пусть s — площадь треугольника CDC1. Найдите 52. Оказалось, что площадь треугольника АВС равна 31. Чему равна площадь треугольника АВС?
Ответ: 31
8. Каждый день в 8:00 Петя выписывает на доску букву а, b или с. Затем каждую минуту он делает одно из следующих действий: приписывает сразу после буквы а букву с приписывает сразу перед буквой в букву с приписывает сразу после буквы с ещё одну букву с; стирает букву с и вписывает на том же месте комбинацию ba. Через 9 минут, получив последовательность из 10 букв, Петя останавливается. Сколько различных последовательностей из 10 букв, в которых ровно 2 буквы с, может получить Петя?
Ответ: 8